Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=1在x∈[0，

π

2

]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间．
（Ⅱ）把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围．

解答： 解：（I）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
2sin（2x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤+2kπ（k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
由于x∈[0，π]
f（x）的单调递增区间为：[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]．
（Ⅱ）依题意：由2sin（2x+

π

6

）+1=t+1
解得：t=2sin（2x+

π

6

）
设函数y₁=t与y2=2sin(2x+

π

6

)
由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，

π

2

]内恒有两个不相等的交点．
因为：x∈[0，

π

2

]
所以：2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
根据函数的图象：当2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，t∈[1，2]
当2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]时，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，t∈[-1，2]
所以：1≤t＜2

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．