Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+2+S_n=2S_n+1+1（n∈N^*）；数列{b_n}中，b₁=a₁，{b_n+2}是以4为公比的等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2a_n（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n+2+S_n=2S_n+1+1得S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n）=1，即a_n+2-a_n+1=1（n≥1），再验证a₂-a₁=1，从而得到数列{a_n}是等差数列，并求出a₁和公差d，由等差数列、等比数列的通项公式求出a_n，b_n；
（2）由（1）和题意求出c_n，代入c_n+1-c_n化简并将不等式转化为：（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，再对n分偶数、奇数讨论，分别分离出λ，再由指数函数的单调性和n的取值，求出对应的最值，从而求出c的范围．

解答： 解：（1）由S_n+2+S_n=2S_n+1+1得，S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n）=1，
所以a_n+2-a_n+1=1（n≥1）（2分）
又a₂-a₁=1，所以数列{a_n}是以a₁=2为首项，1为公差的等差数列．
所以a_n=n+1．（4分）
因为{b_n+2}是以4为首项，4为公比的等比数列．
所以b_n=4ⁿ-2．（6分）
（2）因为a_n=n+1，b_n=4ⁿ-2，所以c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹．
要使c_n+1＞c_n恒成立，需c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
即3•4ⁿ-3λ（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立．所以（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．（9分）
①当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值1，所以λ＜1；                   （10分）
②当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，
当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2．所以λ＞-2，（11分）
结合①②可知-2＜λ＜1．
又λ为非零整数，则λ=-1．
故存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．（12分）

点评：本题考查等比、等差数列的通项公式，以及作差法解决数列不等式问题，恒成立问题转化为求函数的最值问题．