Question

在数列{a_n}中，a₁=1，

1

an

-

1

an+1

=

2

anan+1

（n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n}为等差数列，并求出它的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，是否存在正整数n，使得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-

(n-1)2

2

=2014成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的定义及通项公式即可求得结论；
（2）由等差数列的前n项和公式求得结论即可．

解答： 解：（1）由

1

an

-

1

an+1

=

2

anan+1

得，a_n+1-a_n=2，
又a₁=1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）得s_n=n²，

sn

n

=n，
则S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-

(n-1)2

2

=

n(n+1)

2

-

1

2

（n-1）²=

1

2

（3n-1），
由

1

2

（3n-1）=2014得n=1343．
∴存在满足条件的自然数n=1343．

点评：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和等知识；考查学生运算求解能力及函数与方程思想的运用能力，综合性强，属难题．