Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左顶点为A，右焦点为F₂，点P是椭圆上一动点，则当$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{PA}$取最小值时，$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{P{F_2}}}$|=3．

Answer 1

分析 由椭圆的方程求得左顶点为A（-2，0）右焦点为F₂（1，0），由y²=3-$\frac{3}{4}$x²，根据向量的坐标得出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，-y）•（1-x，-y）=$\frac{1}{4}$（x+2）²，-2≤x≤2，利用函数性质，求出P点坐标，即可得出答案．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左顶点为A，右焦点为F₂，P（x，y）
∴左顶点为A（-2，0）右焦点为F₂（1，0），
$\overrightarrow{PA}$=（-2-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x，-y）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，-y）•（1-x，-y）=（1-x）（-2-x）+y²，
∵点P为椭圆上一动点，
y²=3-$\frac{3}{4}$x²，代入得：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x+2）²，-2≤x≤2，
∴当x=-2时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小，y²=3-$\frac{3}{4}$×4=0，
∴P（-2，0）时$\overrightarrow{PA}$=（0，0），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（3，0）
丨$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨的值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，考查向量数量积的坐标运算，考查一元二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．