Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，若a₂=4，2S_n=a_n（n+1）．
（Ⅰ）求a₁、a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设Tn=

1

a 2 1 + a 2 2

+

1

a 2 2 + a 2 3

+…+

1

a 2 n + a 2 n+1

，求证：T_n＜

1

8

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意得2a₁+2a₂=a₂（2+1），整理得2a₁=a₂，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃，由此能求出a₁、a₃．
（Ⅱ）由已知得2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-na_n-1，从而

an

an-1

=

n

n-1

，从而求出a_n=2n．
（III）由

1

an2+an+12

=

1

4n2+4(n+1)2

=

1

4(2n2+2n+1)

＜

1

8n(n+1)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能证明T_n＜

1

8

．

解答： （Ⅰ）解：依题意得2a₁+2a₂=a₂（2+1），整理得2a₁=a₂，
∵a₂=4，∴a₁=2，
又2（a₁+a₂+a₃）=4a₃，所以2a₃=2a₁+2a₂，a₃=6．…（3分）
（Ⅱ）解：∵2S_n=a_n•（n+1），
∴n≥2，2S_n-1=a_n-1•n，…（5分）
∴2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-na_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

．…（7分）
∴a_n=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1

=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

×2=2n，
∴a_n=2n．…（9分）
（III）证明：∵

1

an2+an+12

=

1

4n2+4(n+1)2

=

1

4(2n2+2n+1)

＜

1

8n(n+1)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+1

)．…（11分）
∴Tn=

1

a 2 1 + a 2 2

+

1

a 2 2 + a 2 3

+…+

1

a 2 n + a 2 n+1

=

1

8

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

8

(1-

1

n+1

)＜

1

8

，
∴T_n＜

1

8

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．