Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），对任意的m，n∈[0，1]，当m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，则不等式f（3x-1）+f（x-1）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由条件可得函数f（x）在[-1，1]为减函数，再结合奇函数的定义，不等式f（3x-1）+f（x-1）＞0即为f（3x-1）＞-f（x-1）=f（1-x），即有

-1≤3x-1≤1 -1≤x-1≤1 3x-1＜1-x

，解出它们，即可得到解集．

解答： 解：对任意的m，n∈[0，1]，当m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，
即为函数f（x）在[0，1]为减函数，
又f（x）为在[-1，1]上的奇函数，即有f（-x）=-f（x），
且f（x）为在[-1，1]上的减函数．
不等式f（3x-1）+f（x-1）＞0即为f（3x-1）＞-f（x-1）=f（1-x），
即有

-1≤3x-1≤1 -1≤x-1≤1 3x-1＜1-x

即有

0≤x≤ 2 3 0≤x≤2 x＜ 1 2

，
则0≤x＜

1

2

，
故解集为[0，

1

2

）．
故答案为：[0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意定义域的应用，考查运算能力，属于中档题和易错题．