Question

某商场在元旦期间开展某商品的促销活动，该商品每件进价为80元，销售价为120元，当一次购买超100件时，每多购一件，所购的全部商品的单价就降低0.1元，但最低购买不能低于100元．
（1）当一次购买量至少为多少件时，每件商品的实际购买价为100元？
（2）当一次订购量为x件时，每件商品的实际购买价为y元，写出函数y=f（x）的表达式；
（3）在顾客一次购买量不超过300件的情况下，求使商场获得最大利润的购买量及最大利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），求出批发价，建立等量关系可求出n的值；
（2）直接根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数，用分段函数表示出y=f（x）即可；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批发公司可获得利润为y，根据利润=（批发价-进价）×个数求出利润函数，然后根据分段函数的最值的求法求出所求．

解答： 解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），
则批发价为120-0.1n，令120-0.1n=100，∴n=200，
所以当一次订购量为300个时，每件商品的实际批发价为100元．…（5分）
（2）由题意知y=f（x）=

120，0≤x≤100，x∈N 120-0.1(x-100)，100＜x≤300，x∈N

…（10分）
（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，根据题意知：
y=

40x，0≤x≤100 [40-0.1(x-100)]x，100＜x≤300

…（12分）
设f₁（x）=40x，在x=100时，取得最大值为4000；
设f₂（x）=-0.1x²+50x=-0.1（x-250）²+0.1×250²
所以当x=250时，f₂（x）取最大值6250．…（15分）
答：当经销商一次批发250个零件时，该批发公司可获得最大利润．…（16分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及二次函数的性质，同时考查计算能力和建模能力，属于中档题．