Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且S_n=

n(an-a1)

2

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,极限及其运算

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=

a1-a1

2

，可得a₁=0.Sn=

n

2

an．当n≥3时，a_n=S_n-S_n-1，化为

an

an-1

=

n-1

n-2

，利用“累乘求积”即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和公式可得S_n，再利用数列的运算法则即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=

a1-a1

2

，可得a₁=0．
∴Sn=

n

2

an．
当n≥3时，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

，
化为

an

an-1

=

n-1

n-2

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a4

a3

•

a3

a2

•a2
=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•1
=n-1．
当n=1，2时也成立，
∴a_n=n-1（n∈N^*）．
（2）由（1）可得：S_n=

n(n-1+0)

2

=

n(n-1)

2

．
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n-1

2n

=

1

2

．

点评：本题考查了“累乘求积”方法、等差数列的前n项和公式、数列的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．