Question

已知函数f（x）=ax²-4lnx，a∈R．
（1）当a=

1

2

时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

1

2

x²-4lnx的定义域为（0，+∞）；求导f′（x）=x-

4

x

；从而求切线方程；
（2）求导f′（x）=ax-

4

x

=

ax2-4

x

；讨论a以确定函数的单调性的判断．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

1

2

x²-4lnx的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=x-

4

x

；
则f′（1）=1-4=-3，f（1）=

1

2

；
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
y=-3（x-1）+

1

2

；
故6x+2y-7=0；
（2）f′（x）=ax-

4

x

=

ax2-4

x

；
当a≤0时，f′（x）＜0；
故函数f（x）=ax²-4lnx在（0，+∞）上是减函数，
当a＞0时，x∈（0，

2 a

a

）时，f′（x）＜0；
x∈（

2 a

a

，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，

2 a

a

）上是减函数，在（

2 a

a

，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．