Question

已知cosα=

1

3

，cos（α+β）=-

1

3

，且α、β∈（0，

π

2

），则cos（α-β）=（　　）

• A、-

  10 2

  27

• B、-

  2 2

  3

• C、

  23

  27

• D、-

  9

  27

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：根据α的范围，求出2α的范围，由cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，又根据α和β的范围，求出α+β的范围，由cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，然后据α-β=2α-（α+β），由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求解．

解答： 解：由2α∈（0，π），及cosα=

1

3

，得到cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，且sin2α=

1-(- 7 9 )2

=

4 2

9

，
由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=-

1

3

，得到sin（α+β）=

1-(- 1 3 )2

=

2 2

3

，
则cos（α-β）=cos[2α-（α+β）]
=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）
=-

7

9

×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

23

27

．
故选：C．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解题的关键是角度的灵活变换即α-β=2α-（α+β），属于中档题．