Question

已知函数f（x）=

- 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ] 2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1]

，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（　　）
①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；         
②函数f（x）的值域为[0，

2

3

]；
③若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是[

4

9

，

4

5

]；
④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解．

• A、①②
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：运用三角函数的对称轴的定义，即可判断①；
分别运用一次函数和分式函数的单调性，即可判断得到值域，再求并集即可判断②；
由f（x）的值域和g（x）的值域的关系，解不等式即可判断③；
由f（x）的值域和g（x）的值域的包含关系，令a=10，即可判断④．

解答： 解：对于①，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2，
由g（3）=-acosπ-2a+2=2-a，取得最大值，故①对；
对于②，当0≤x≤

1

2

时，f（x）=

1

4

-

1

2

x∈[0，

1

4

]；
当

1

2

＜x≤1时，f（x）=

2x2

x+2

═2[（x+2）+

4

x+2

]-8
而

5

2

＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（

5

2

，3]，
双钩型函数h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上单调递增，
∴h（

5

2

）=

41

5

-8=

1

5

，h（z）_max=h（3）=

2

3

，
∴当x∈（

1

2

，1）时，f（x）的值域为（

1

5

，

2

3

]；
∴函数f（x）的值域为[0，

2

3

]，故②对；
对于③，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，
解得

4

9

≤a≤

2

3

或

8

15

≤a≤

4

5

，由于

8

15

＜

2

3

，
∴[

4

9

，

2

3

]∪[

8

15

，

4

5

]=[

4

9

，

4

5

]．故③对；
对于④，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，∴0≤

π

3

x≤

π

3

，
∵y=cosx在[0，

π

3

]上单调递减，
∴y=-cosx在[0，

π

3

]上单调递增，又a＞0，
∴g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函数，
由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，
当0≤x≤1时，0≤

π

3

x≤

π

3

，

1

2

≤cos

π

3

x≤1，又a＞0，
∴-a≤-acos

π

3

x≤-

a

2

，
∴2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域为[0，

2

3

]，
显然f（x）≠g（x），故④错．
故选B．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查函数的值域，考查三角函数的诱导公式及综合应用，属于难题．