题目内容
若a+b=1，a，b∈R+，则（a+
）2+（b+
）2的最小值是 ．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：本题可以利用基本不等式得到ab的取值范围，再将研究代数式用ab表示，得到原式的最小值．
解答：
解：∵a+b=1，a，b∈R+，
∴（a+
）2+（b+
）2
=a2+
+2+b2+
+2
=a2+b2+
+
+4
=(a2+b2)(1+
)+4
=[(a+b)2-2ab](1+
)+4
=(1-2ab)(1+
)+4．
∵a+b≥2
，
∴ab≤
，（当且仅当a=b时取等号）
∴1-2ab≥
，1+
≥17，
∴(1-2ab)(1+
)+4≥
．
∴（a+
）2+（b+
）2≥
．
故答案为
．
∴（a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
=a2+
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
=a2+b2+
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
=(a2+b2)(1+
| 1 |
| a2b2 |
=[(a+b)2-2ab](1+
| 1 |
| a2b2 |
=(1-2ab)(1+
| 1 |
| a2b2 |
∵a+b≥2
| ab |
∴ab≤
| 1 |
| 4 |
∴1-2ab≥
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a2b2 |
∴(1-2ab)(1+
| 1 |
| a2b2 |
| 25 |
| 2 |
∴（a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 2 |
故答案为
| 25 |
| 2 |
点评：本题考查的是基本不等式和转化化归的数学思想，本题有一定难度，属于中档题．
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