Question

17．已知关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范围为（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意得出a＞0，对应二次函数图象的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$=c，且△=4-4ab=0，化$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+1}{a+c}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$，利用基本不等式求出最值，即可求出结果．

解答 解：根据关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，
可得a＞0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$=c，且△=4-4ab=0，
∴ac=-1，ab=1，
∴c=-$\frac{1}{a}$，b=$\frac{1}{a}$，
∴c=-b；
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+1}{a+c}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+3}{a-b}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$；
当a-b＞0时，由基本不等式求得（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{3}$，
当a-b＜0时，由基本不等式求得-（a-b）-$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{3}$，
即（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≤-2$\sqrt{3}$
故$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+1}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范围为：（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞），
故答案为：（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质与基本不等式的应用问题，是综合题．