Question

17．设函数f（x）=e^x，g（x）=lnx-2．
（Ⅰ）证明：$g（x）≥-\frac{e}{x}$；
（Ⅱ）若对所有的x≥0，都有$f（x）-\frac{1}{f（x）}≥ax$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令$F（x）=g（x）+\frac{e}{x}=lnx-2+\frac{e}{x}$，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F（x）的最小值，证出结论即可；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$-ax=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-ax，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．

解答 （Ⅰ）证明：令$F（x）=g（x）+\frac{e}{x}=lnx-2+\frac{e}{x}$，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
由F′（x）＞0，解得：x＞e，
∴F（x）在（0，e]递减，在[e，+∞）递增，
∴$F{（x）_{min}}=F（e）=lne-2+\frac{e}{e}=0$，
∴F（x）≥0即$g（x）≥-\frac{e}{x}$成立．  
（Ⅱ）解：记h（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$-ax=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-ax，
∴h（x）≥0在[0，+∞）恒成立，
$h'（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}-a$，∵$h''（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}≥0（∵x≥0）$，
∴h'（x）在[0，+∞）递增，又h'（0）=2-a，
∴①当 a≤2时，h'（x）≥0成立，即h（x）在[0，+∞）递增，
则h（x）≥h（0）=0，即 $f（x）-\frac{1}{f（x）}≥ax$成立；    
②当a＞2时，∵h'（x）在[0，+∞）递增，且h'（x）_min=2-a＜0，
∴必存在t∈（0，+∞）使得h'（t）=0，
则x∈（0，t）时，h'（t）＜0，
即 x∈（0，t）时，h（t）＜h（0）=0与h（x）≥0在[0，+∞）恒成立矛盾，
故a＞2舍去．
综上，实数a的取值范围是a≤2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．