Question

6．实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 得到x、y是关于t的一元二次方程t²-（5-z）t+z²-5z+3=0的两实根，根据二次函数的性质求出z的最大值即可．

解答 解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z²-5z+3，
∴x、y是关于t的一元二次方程t²-（5-z）t+z²-5z+3=0的两实根．
∵△=（5-z）²-4（z²-5z+3）≥0，
即3z²-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．
∴-1≤z≤$\frac{13}{3}$，当x=y=$\frac{1}{3}$时，z=$\frac{13}{3}$；
故z的最大值为$\frac{13}{3}$；
故答案为：$\frac{13}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查转化思想以及函数最值问题，是一道中档题．