Question

12．某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2^n-1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．
（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；
（II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数；
（Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，根据题意写出ξ 的分布列，
计算期望值；
（Ⅱ）设小明在3次游戏中至少过两关的次数为X，则X～B（3，0.7），
计算E（X）即可；
（Ⅲ）计算小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ 的分布列为

ξ	0	1	2	4	8	16
P	0.1	0.2	0.3	0.2	0.1	0.1

------（2分）
ξ 的期望值为E（ξ ）=0×0.1+1×0.2+2×0.3+4×0.2+8×0.1+16×0.1=4；-----（4分）
（Ⅱ）小明在1次游戏中至少过两关的概率为0.7，-------（5分）
设小明在3次游戏中至少过两关的次数为X，可知X～B（3，0.7），
则X的平均次数E（X）=3×0.7=2.1；--------（7分）
（Ⅲ）小明在3次游戏中所得奖品超过30件含三类：
恰好一次ξ=16和两次ξ=8，恰好二次ξ=16，恰好三次ξ=16，------（8分）
${C}_{3}^{1}$•P（ξ=16）•P（ξ=8）²=3×0.1×0.1²=0.003，-------（9分
${C}_{3}^{2}$•P（ξ=16）²•P（ξ≠16）=3×0.1²×（1-0.1）=0.027，-----（10分）
${C}_{3}^{3}$•P（ξ=16）³=0.1³=0.001；-------（11分）
所以小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率为P=0.003+0.027+0.001=0.031．------（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．