Question

如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、EF、PF，其中PF=2

5

．
（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；
（Ⅱ）求直线AP与平面PEF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明PF⊥BF，PF⊥EF，利用仔细与平面垂直的判定定理证明PF⊥平面ABED．
（Ⅱ）方法一：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出A，P，E，F，求出平面PEF的法向量，直线AP的向量，利用向量的数量积求解直线AP与平面PEF所成角的正弦值．
方法二：过点A作AH⊥EF于H，说明∠APH为直线AP与平面PEF所成的角，通过解Rt△APH，求出直线AP与平面PEF所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，所以PF⊥BF…（2分）
在图1中，易得EF=

62+(12-3-4)2

=

61

，…（3分）
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，所以PF⊥EF…（4分）
又BF∩EF=F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，所以PF⊥平面ABED…（6分）

（Ⅱ）方法一：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，
则A（6，0，0），P(6，8，2

5

)，E（0，3，0），F（6，8，0），
所以

AP

=(0，8，2

5

)，

FP

=(0，0，2

5

)，

EF

=(6，5，0)，…（8分）
设平面PEF的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • FP =0 n • EF =0

，即

2 5 •z=0 6x+5y=0

，解得

x=- 5 6 y z=0

，
令y=-6，得

n

=（5，-6，0），…（12分）
设直线AP与平面PEF所成角为θ，则sinθ=

| AP • n |

| AP || n |

=

48

84 × 61

=

8 1281

427

．
所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为

8 1281

427

．…（14分）
方法二：过点A作AH⊥EF于H，由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，而AH?平面ABED，
所以PF⊥AH，又EF∩PF=F，EF?平面PEF，PF?平面PEF，
所以AH⊥平面PEF，所以∠APH为直线AP与平面PEF所成的角．…（9分）
在Rt△APF中，AP=

AF2+PF2

=

64+20

=2

21

…（11分）
在△AEF中，由等面积公式得AH=

AF•AD

EF

=

48

61

…（13分）
在Rt△APH中，sin∠APH=

AH

AP

=

16

61

×

3

2 21

=

8 1281

427

所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为

8 1281

427

．…（14分）

点评：本题考查仔细与平面所成角，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．