Question

已知函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（

3

2

sinx，-1），

b

=（2cosx，cos²x+

1

2

）．
（Ⅰ）若x∈[

5π

24

，

3π

4

]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．
（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=

3

，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过x∈[

5π

24

，

3π

4

]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．
（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=

3

，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（

3

2

sinx，-1），

b

=（2cosx，cos²x+

1

2

）．
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1；
x∈[

5π

24

，

3π

4

]，
∴2x-

π

6

∈[

π

4

，

4π

3

]，
sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]；
∴sin（2x-

π

6

）-1∈[-1-

3

2

，0]，
2x-

π

6

=2kπ+

4π

3

时，函数球的最小值，此时x=kπ+

3π

4

．k∈Z．
2x-

π

6

=2kπ+

π

2

时，函数球的最大值，此时x=kπ+

π

3

．k∈Z．
（Ⅱ）由c=

3

，f（C）=0，可得sin（2C-

π

6

）=1，解得：C=

π

3

，且sinB=2sinA，
得：b=2a，c²=3=b²+a²-2bacosC，
3=4a2+a2-4a2×

1

2

，可得a=1，b=2，

点评：本题考查两角和与差的三角函数，余弦定理的应用，考查奇数项的解法，考查计算能力．