Question

14．已知双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，双曲线上一点P（a，b）（b≠0）到直线y=x的距离是$\sqrt{2}$，求|a+b|的值．

Answer 1

分析 由点到直线的距离得a-b=2或a-b=-2，把P（a，b）代入双曲线方程，求出a，b，即可求出|a+b|的值．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上一点P（a，b）到直线y=x的距离为$\sqrt{2}$，
∴由点到直线的距离得a-b=2或a-b=-2，
把P（a，b）代入双曲线方程，得$\frac{{a}^{2}}{4}$-b²=1，
（a+2b）（a-2b）=4，
当a-b=2时，上式化为：（3b+2）（2-b）=4，b≠0解得b=$\frac{4}{3}$，|a+b|=|2b+2|=$\frac{11}{3}$．
当a-b=-2时，上式化为：（3b-2）（-2-b）=4，解得b=$±2\sqrt{2}$．
|a+b|=|2b-2|=4$\sqrt{2}±2$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的应用．