Question

1．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，其中O为坐标原点，且$|\overrightarrow{P{F_1}}|=3|\overrightarrow{P{F_2}}|$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 取PF₂的中点A，利用$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，从而可得PF₁⊥PF₂，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．

解答 解：取PF₂的中点A，则
∵$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$
∵O是F₁F₂的中点
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴10a²=4c²，
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
故选C．

点评 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定PF₁⊥PF₂是关键．