Question

6．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是$\frac{4}{5}$，生产乙产品为正品的概率是$\frac{3}{4}$；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：
（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据随机变量X的所有取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望EX；
（Ⅱ）计算“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15；
P（X=90）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$；P（X=45）=$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$；
P（X=30）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$；P（X=-15）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$．
所以，随机变量X的分布列为：

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

EX=90×$\frac{3}{5}$+45×$\frac{3}{20}$+30×$\frac{1}{5}$+（-15）×$\frac{1}{20}$=66；
（Ⅱ）设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A，
则$P（A）={（\frac{4}{5}）^4}+C_4^3{（\frac{4}{5}）^3}\frac{1}{5}=\frac{512}{625}$．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，以及概率的计算问题，是基础题目．