Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，O是底面ABCD的对角线的交点，A₁A=A₁C，A₁A⊥BC．
（1）证明：平面A₁BC∥平面CD₁B₁；
（2）证明：A₁O⊥平面ABC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）运用几何性质判断A₁B∥B₁C，A₁D∥B₁C．再运用定理判断．（2）运用性质判断出DB⊥平面A₁AO，BD⊥A₁O，A₁O⊥AC，再运用判定定理证明．

解答： 证明：（1）易知AA₁∥DD₁，


∵底面ABCD为菱形，∴AB∥CD，
又∵AA₁∩AB=A，CD∩DD₁=D，
∴平面AA₁BB₁∥平面DC₁CD₁，
又A₁B?平面AA₁BB₁，CD₁?平面DC₁CD₁，
平面A₁BCD₁∩平面AA₁BB₁=A₁B，
平面ABCBD₁∩平面DC₁CD₁=D₁C，
∴A₁B∥B₁C，
同理可证：A₁D∥B₁C．
又∵A₁D∩A₁B=A₁，D₁C∩B₁C=C，
∴平面A₁BC∥平面CD₁B₁；
（2）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵AA₁⊥BD，AA₁∩AC=A，∴DB⊥平面A₁AO，
∵A₁O?平面A₁AO，∴BD⊥A₁O，
由∵A₁A=A₁C，∴A₁O⊥AC，
∵AC∩BD=O，
∴A₁O⊥平面ABC．

点评：本题考查了空间几何题 的性质，运用判断直线，平面的平行、垂直关系．属于中档题．