Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=

3

5

，2cosC=sinB．
（1）求tanC的值；
（2）若a=

10

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论结合正弦定理求出三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=

3

5

，
所以：sinA=

4

5

，
由于：2cosC=sinBsin（A+C），
2cosC=sinAcosC+cosAsinC，
解得：tanC=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：tanC=2，
所以：sinC=

2 5

5

，cosC=

5

5

，
由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

，
解得：c=

5 2

2

，
由于：2cosC=sinB，
sinB=

2 5

5

，
S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

5 2

2

×

10

×

2 5

5

=5

点评：本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．