Question

已知三角形三边a，b，c．所对的角为A、B，C，且

cosB

cosC

=

b

2a-c

．
（1）求角B；
（2）若b=2，求三角形ABC的面积的最大值，并求出此时三角形的边a，c的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入，利用基本不等式变形求出ac的最大值，即可确定出面积的最大值以及此时a与c的长．

解答： 解：（1）已知等式

cosB

cosC

=

b

2a-c

，利用正弦定理化简得：

cosB

cosC

=

sinB

2sinA-sinC

，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：4=a²+c²-ac≥ac，当且仅当a=c时取等号，即a=c=2，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
则△ABC面积的最大值为

3

，此时a=c=2．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．