Question

已知函数f（x）=x²-2x+2．
（Ⅰ）求f（x）在区间[

1

2

，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[

1

2

，3]，再利用二次函数的性质求得f（x）在区间[

1

2

，3]上的最值．
（2）根据g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2在[2，4]上是单调函数，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，由此求得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[

1

2

，3]，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，f（x）的最大值是f（3）=5，
即f（x）在区间[

1

2

，3]上的最大值是5，最小值是1．
（2）∵g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2
，∴

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，
解得m≤2或m≥6，
故m的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，属于中档题．