Question

设f（x）=x²-x+13，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

考点：绝对值不等式,二次函数的性质

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：由题意可得，|f（x）-f（a）|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|．再根据|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|，再利用条件以及绝对值不等式的性质证得结论．

解答： 证明：∵f（x）=x²-x+13，∴|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|，
∵实数a满足|x-a|＜1，∴|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|．
又|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a-1|≤1+|2|a|+1=2（|a|+1），
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，绝对值不等式的性质，属于基础题．