Question

已知P为椭圆

x2

2

+y²=1上一点，F₁、F₂分别为该椭圆的左、右两焦点．
（1）若△PF₁F₂为直角三角形，且满足PF₁≥PF₂，求PF₁：PF₂的值；
（2）设点M（t，0）（t∈R），求PM的最小值．（用t表示）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先根据题中的已知条件建立相应的方程组，解方程组求得比值．
（2）分以下四种情况进行分类讨论：①当0≤t≤

2

 ②当t＞

2

 ③当-

2

≤t≤0 ④当t＜-

2

根据各种情况求得最小值．

解答： 解：（1）已知椭圆的方程为：

x2

2

+y²=1，点P为椭圆上的点，F₁、F₂分别为该椭圆的左、右两焦点
|PF₁|+|PF₂|=2

2

①
∵△PF₁F₂为直角三角形
∴|PF1|2+|PF2|2=4②
∴

|PF1|2+|PF2|2=4 |PF2|+|PF1|=2 2

解得：|PF1|=

2

  |PF2|=

2

∴

|PF1|

|PF2|

=1
（2）点P为椭圆上的点，点M（t，0）（t∈R）则：

x= 2 cosθ y=sinθ

(θ为参数)
|PM|=

( 2 cosθ-t)2+sin2θ

=

(cosθ- 2 t)2+1-t2

则：①-1≤

2

t≤1时，-

2

2

≤t≤

2

2

|PM|min=

1-t2

②当

2

t＞1时，即t＞

2

2

|PM|_min=

(1- 2 t)2+1-t2

=|t-

2

|
③当

2

t＜-1时，即t＜-

2

2

|PM|_min=

(-1- 2 t)2+1-t2

=|t+

2

|

点评：本题考查的知识点：椭圆的定义及方程，勾股定理，分类讨论问题及相关的运算问题．