Question

已知函数f（x）=log₂（kx+4k+2）+1恒过一定点P，且点P在直线

y

b

-

x

a

=2（a＞0，b＞0）上，则3a+2b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：先由条件求得定点P的坐标，再根据点P在直线

y

b

-

x

a

=2（a＞0，b＞0）上，利用基本不等式求得3a+2b=（3a+2b）（

1

b

+

2

a

 ） 的最小值．

解答： 解：由于函数t=kx+4k+2=k（x+4）+2 的图象经过定点（-4，2），可得函数f（x）=log₂（kx+4k+2）+1恒过一定点P（-4，2）．
由点P在直线

y

b

-

x

a

=2（a＞0，b＞0）上，可得

2

b

-

-4

a

=2，即

2

b

+

4

a

=2，

1

b

+

2

a

=1，
则3a+2b=（3a+2b）（

1

b

+

2

a

 ）=8+

3a

b

+

4b

a

≥8+2

12

=8+4

3

，
当且仅当

3a

b

=

4b

a

时，取等号，故3a+2b的最小值为8+4

3

，
故答案为：8+4

3

．

点评：本题主要考查直线经过定点问题，基本不等式的应用，属于基础题．