Question

有下列四个命题：
①函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；
②函数y=|log

1

2

x|的单调递减区间为（0，+∞）；
③已知f（x）=x⁵+ax³+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-8；
④已知2^a=3^b=k（k≠1）且

1

a

+

2

b

=1，则实数k=18；
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由指数函数的图象恒过定点（0，1），结合函数图象平移判断①；
画出函数的图象判断②；
构造辅助函数g（x）=x⁵+ax³+bx，由已知求得g（2），进一步求出f（2）判断③；
化指数式为对数式，代入

1

a

+

2

b

=1求得k值判断④．

解答： 解：对于①，
∵f（x）=a^x恒过定点（0，1），
∴f（x）=a^x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4）．
命题①正确；
对于②，函数y=|log

1

2

x|的图象如图，

∴函数y=|log

1

2

x|的单调递减区间为（0，1]．
∴命题②错误；
对于③，f（x）=x⁵+ax³+bx-8，
令g（x）=x⁵+ax³+bx，
∵函数g（x）的定义域为R，且g（-x）=（-x）⁵+a（-x）³+b（-x）=-（x⁵+ax³+bx）=-g（x）．
∴g（x）为奇函数，
由f（-2）=g（-2）-8=8，得g（2）=-16，
∴f（2）=g（2）-8=-16-8=-24．
∴命题③错误；
对于④，由2^a=3^b=k（k≠1），得a=log₂k，b=log₃k．
代入

1

a

+

2

b

=1，得

1

log2k

+

2

log3k

=1．
即log_k2+log_k3=log_k6=1，解得k=6．
∴命题④错误．
∴正确命题的序号是①．
故答案为：①．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的图象和性质，考查了函数值的求法，是中档题．