Question

17．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x²+y²=a²+b²；若抛物线x²=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；
（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．
①证明：PA⊥PB；
②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k₁，k₂，试判断k₁k₂是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k_PA•k_PB=-1，即可证明PA⊥PB；
②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，代入即可求得k₁k₂=-$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）由抛物线x²=4y的焦点为（0，1）与椭圆C的一个短轴端点重合，
∴b=1，
由椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则a²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，x²+y²=4；
（2）①证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点P过椭圆C的切线斜率存在且不为零，
设方程为y=kx+m，（k≠0），
由直线y=kx+m，过P（x₁，y₁），则m=y₁-kx₁，且x₁²+y₁²=4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
△=36k²m²-4（3k²+1）（3m²-3）=0，整理得：m²=3k²+1，
将m=y₁-kx₁，代入上式关于k的方程（x₁²-3）k²-2x₁y₁k+y₁²-1=0，（x₁²-3≠0），
则k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{{x}_{1}^{2}-3}$=-1，（x₁²+y₁²=4），
当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，
∴PA⊥PB，
②当直线PQ的斜率存在时，
由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（k²+1）x²+2kmx+m²-4=0，
则△=4k²m²-4（k²+1）（m²-4），将m²=3k²+1，代入整理△=4k²+12＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+1}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
$\frac{{k}^{2}•\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+1}+km•\frac{-2km}{{k}^{2}+1}+{m}^{2}}{\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{{m}^{2}-4}$，
将m²=3k²+1，即可求得求得k₁k₂=-$\frac{1}{3}$，
当直线PQ的斜率不存在时，易证k₁k₂=-$\frac{1}{3}$，
∴综上可知：k₁k₂=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．