Question

7．设f（x）=$\frac{x+1}{x}+a1nx（x＞0）$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：0≤a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上没有零点；
（3）设F（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．A（x₁y₁）B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）依次是函数F（x）的图象上从左至右的三点． 证明：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，即可求f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，证明f（x）＞0，即可证明：0≤a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上没有零点；
（3）先表示出向量BA、向量BC，根据向量的数量积运算求出角B的余弦值小于0得到B为钝角，从而得证．

解答 （1）解：由题意，f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$．
①a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②a＞0，x∈（0，$\frac{1}{a}$），f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（$\frac{1}{a}$，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增；
（2）证明：由（1）可知，a=0时，f（x）=1+$\frac{1}{x}$＞0恒成立，函数在（0，+∞）上没有零点；
a∈（0，1），x＞0，f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1+a+aln$\frac{1}{a}$＞0，
综上所述，0≤a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上没有零点；
（3）解：F′（x）=$\frac{a}{x}$＞0，函数在（0，+∞）上单调递增．
由x₁＜x₂＜x₃，
由（1）知y₁＜y₂＜y₃，
∵$\overrightarrow{BA}$=（x₁-x₂，y₁-y₂），$\overrightarrow{BC}$=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，
∴∠ABC为钝角，即△ABC是钝角三角形．

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，以及向量的数量积运算．属中档题．