Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F₁，F₂，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F₂且垂直与x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3
（1）求椭圆的方程
（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的通径公式求得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，由a=2，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）当斜率不存在时，代入求得直线与椭圆的交点坐标，由丨MB丨=丨AM丨即可求得m的值；当斜率存在且不为0，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k与b的关系，即可求出定点坐标．

解答 解：（1）令x=c，y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，则椭圆的通径丨PQ丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，
又a=2，则b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（6分）
（2）当直线MN斜率不存在时，设l_MN：x=m，
与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立得：y=$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$，丨MN丨=2=$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$，
设直线MN与x轴交于点B，丨MB丨=丨AM丨，即$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$=2-m，
∴m=$\frac{2}{7}$或m=2（舍），
∴直线m过定点（$\frac{2}{7}$，0）；
当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则直线MN：y=kx+b，
与椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8kb}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=kx₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²，
△=（8kb）²-4（4k²+3）（4b²-12）＞0，k∈R，
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，则（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，
∴7b²+4k²+16kb=0，
∴b=-$\frac{2}{7}$k，或b=-2k，
∴直线lMN：y=k（x-$\frac{2}{7}$）或y=k（x-2），
∴直线过定点（$\frac{2}{7}$，0）或（2，0）舍去；
综合知，直线过定点（$\frac{2}{7}$，0）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．