Question

若不等式|x+1|+|x-4|≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用绝对值不等式的性质可求得f（x）=|x+1|+|x-4|≥5，问题转化为a+

4

a

≤f（x）_min=5恒成立，移项后通分，求与得到的不等式相对应的两个不等式组，解之即可．

解答： 解：∵f（x）=|x+1|+|x-4|≥|（x+1）+（4-x）|=5，
∴f（x）_min=5，
∵不等式|x+1|+|x-4|≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立，
∴a+

4

a

≤f（x）_min，
∴a+

4

a

≤5，
∴a+

4

a

-5=

a2-5a+4

a

≤0，
∴

a2-5a+4≥0 a＜0

①或

a2-5a+4≤0 a＞0

②，
解①得：a＜0；
解②得：1≤a≤4．
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，4]．
故答案为：（-∞，0）∪[1，4]．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查高次不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想，考查综合运算与求解能力，属于中档题．