Question

(

1

x

+x2)3的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x²围成图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,二项式系数的性质

专题：导数的综合应用

分析：先根据二项式定理求出常数a，然后利用积分的几何意义求区域面积．

解答： 解：(

1

x

+x2)3=

(1+x3)3

x3

，
则（1+x³）³的展开式的通项公式为

C

k 3

(x3)k=

C

k 3

x3k，
当k=1时，展开式的常数项a=

C 1 3 x3

x3

=3，
即a=3，
此时直线y=ax=3x，
由

y=3x y=x2

得x²=3x，
解得x=0或x=3，
则由积分公式得

∫

3 0

(3x-x2)dx=（

3

2

x2-

1

3

x3）|

3 0

=

27

2

-9=

9

2

，
故答案为：

9

2

；

点评：本题主要考查利用积分求区域面积，利用二项式定理的知识求出常数项a是解决本题的关键．