Question

已知(5

3	x2

-x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）令x=1得各项系数和为：4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，由条件得到方程，解出即可得到n=5，再由二项式系数的性质，即可得到二项式系数最大的项；
（2）由二项式展开式的通项公式，可得r=0，2，4时项的系数为正，分别求得它们的系数，比较即可得到系数最大项．

解答： 解：（1）令x=1得各项系数和为：4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，
由各项系数和比各项的二项式系数和大992，得4ⁿ-2ⁿ=992，
即有（2ⁿ+31）（2ⁿ-32）=0，则2ⁿ=32，解得n=5，
二项式的展开式的通项T_r+1=

C

r 5

（5

3	x2

）^5-r•（-x²）^r（r=0，1，2，…，5）
则展开式中二项式系数最大的项为：
T₃=

C

2 5

（5

3	x2

）^5-2•（-x²）²=1250x⁶，
T₄=

C

3 5

（5

3	x2

）^5-3•（-x²）³=-250x

22

3

；
（2）由T_r+1=

C

r 5

（5

3	x2

）^5-r•（-x²）^r（r=0，1，2，…，5），
则r=0，2，4时项的系数为正，
当r=0时，项的系数为5⁵=3125，
当r=2时，项的系数为2×5⁴=1250，
当r=4时，项的系数为5²=25，
故r=0时，展开式中项的系数最大，
即有展开式中系数最大的项为3125x

10

3

．

点评：本题考查二项式展开式的通项及运用，考查二项式系数与该项的系数的区别，考查运算能力，属于中档题．