Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，na_n+1=2S_n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=

1

2

，bn+1=bn+

b 2 n

a 2 n+1

，试证明：当n∈N^*时，必有①

1

bn

-

1

bn+1

＜

1

(n+1)2

；②b_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由递推公式逐个求得即可；
（2）利用公式法可得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n即na_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=

n+1

n

，再利用累乘法即可求得数列的通项公式；
（3）先证得数列{b_n}是正项单调递增数列，再由所以bn+1-bn＜

bn+1bn

(n+1)2

，

bn+1-bn

bn+1bn

＜

1

(n+1)2

即

1

bn

-

1

bn+1

＜

1

(n+1)2

，再有裂项相消法求得

1

bn

，

1

bn

＞

1

b1

+

1

n

-1=2+

1

n

-1=

n+1

n

＞1，即b_n＜1（n≥2），故命题得证．

解答： 解：（1）由n=1，2，（3分）别代入递推式即可得a₂=2，a₃=3，a₄=4…（3分）
（2）因为na_n+1=2S_n，（n-1）a_n=2S_n-1，
所以na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n即na_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=

n+1

n

所以

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

2

1

•

3

2

•

4

3

…

n

n-1

，an=n(n∈N*)．…（7分）
（3）①由（2）得b1=

1

2

，bn+1=bn+

b 2 n

(n+1)2

＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0
所以{b_n}是正项单调递增数列，…（8分）
当n∈N^*时，bn+1=bn+

b 2 n

(n+1)2

＜bn+

bn+1bn

(n+1)2

，…（9分）
所以bn+1-bn＜

bn+1bn

(n+1)2

，

bn+1-bn

bn+1bn

＜

1

(n+1)2

即

1

bn

-

1

bn+1

＜

1

(n+1)2

．…（11分）
②由①得，当n≥2时，

1

b1

-

1

b2

＜

1

22

，

1

b2

-

1

b3

＜

1

32

，…，

1

bn-1

-

1

bn

＜

1

n2

所以(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)+…+(

1

bn-1

-

1

bn

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

即

1

b1

-

1

bn

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

…（13分）
所以

1

b1

-

1

bn

＜

1

2•1

+

1

3•2

+…+

1

n•(n-1)

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

…（14分）
所以

1

bn

＞

1

b1

+

1

n

-1=2+

1

n

-1=

n+1

n

＞1，即b_n＜1（n≥2）
又当n=1，b1=

1

2

＜1…（15分）
故当n∈N^*时，b_n＜1．

点评：本题主要考查递推公式求数列的通项公式，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属于难题．