Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=

-g(x)+a

2g(x)+b

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题（1）利用直线过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程组，解方程组得到本题结论；（2）利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将原不等式转化为相应自变量的比较，解不等式得到本题结论．

解答： 解：（1）设g（x）=m^x（m＞0，m≠1）
∵g（2）=4，
∴m²=4，
∴m=2，
∴g（x）=2^x．
∴f(x)=

-2x+a

2•2x+b

，
∵定义域为R的函数f（x）=

-g(x)+a

2g(x)+b

是奇函数，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，
∴

a=1 b=2

．
（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明．
证明：由（1）可知：f（x）=

-2x+1

2•2x+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则：f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

+

1

2x1+1

）-（-

1

2

+

1

2x2+1

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2 x2＞2x1，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）是R是上的单调递减函数．
（3）∵f（2t²-2t）+f（2t²-k）＜0对于任意的t∈R恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）．
∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²）．
∵函数f（x）是R上的减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=2(t-

1

3

)2-

1

3

对于任意的t∈R恒成立，
∴k＜-

1

3

．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度适中，属于中档题．