题目内容
已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（-x）=f（x），且对于任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有
＜0＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 ．
| f(a)-f(b) |
| a-b |
考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由题意可得函数f（x）为偶函数，在（-∞，0]上是减函数，从而函数在[0，+∞）上是增函数，
故由不等式可得|m+1|＜2，由此求得m的范围．
故由不等式可得|m+1|＜2，由此求得m的范围．
解答：
解：由f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），
再根据对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有
＜0，
故函数在（-∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，
故由f（m+1）＜f（2），
∴f（|m+1|）＜2
∴|m+1|＜2
可得-2＜m+1＜2，解得-3＜m＜1，
故答案为：（-3，1）．
再根据对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有
| f(a)-f(b) |
| a-b |
故函数在（-∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，
故由f（m+1）＜f（2），
∴f（|m+1|）＜2
∴|m+1|＜2
可得-2＜m+1＜2，解得-3＜m＜1，
故答案为：（-3，1）．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到|m+1|＜2是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=
ln（1-x）的定义域为（ ）
| x+1 |
| A、[-1，1） |
| B、（-1，1） |
| C、（-1，1] |
| D、[-1，1] |