Question

已知f（x）=x-

1

x

，若对于任意的x₁，x₂∈[2，3]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：因为|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，所以只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a即可，因为x₁，x₂∈[2，3]，且是同一个函数，所以只需研究函数f（x）在区间[2，3]上的最值即可．利用单调性容易解决问题．

解答： 解：因为f（x）=x-

1

x

，所以f′（x）=1+

1

x2

＞0恒成立，所以函数f（x）在[2，3]上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=

3

2

，f(x)max=f(3)=

8

3

．
因为|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，所以只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a即可，因为x₁，x₂∈[2，3]，且是同一个函数，
所以只需a≥f(x)max-f(x)min=

8

3

-

3

2

=

7

6

．．
即a≥

7

6

．
故答案为a≥

7

6

．．

点评：本题考查了不等式的恒成立问题，主要是转化为函数的最值问题来解．