Question

9．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．
（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；
（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；
（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2$\sqrt{5}$，AE=2$\sqrt{2}$，面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{20-2}$=6；
（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角．
∵GM=$\sqrt{5}$，GA=2，
∴tan∠AMG=$\frac{GA}{GM}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面角，考查三视图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．