Question

4．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂…p_n的“平均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“平均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2017}{b}_{2018}}$等于（　　）

• A． $\frac{2018}{2019}$
• B． $\frac{2017}{2018}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{a_n}的前n项和为S_n，根据${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n，代入b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$化简求出b_n，代入$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$化简后利用裂项相消法求出式子的和．

解答 解：由题意和“平均倒数”得，$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=2n²+n，
当n=1时，a₁=S₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，
当n=1时也适合上式，∴a_n=4n-1，则b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{2017}{b}_{2018}}$=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$）
=$1-\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$，
故选B．

点评 本题考查新定义的理解与应用，利用公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．