Question

11．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC；
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求证：FC∥平面EAD；
（3）设AB=BF=a，求四面体A-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连结FO，由AC⊥BD，AC⊥FO即可得出AC⊥平面BDEF；
（2）由BC∥AD，BF∥DE可得平面BCF∥平面EAD，从而FC∥平面EAD；
（3）证明FO⊥平面ABCD，则V_A-BCF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•FO$．

解答 解：（1）证明：设AC∩BD=O，连结FO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，O是AC的中点，
又FA=FC，∴FO⊥AC，
又FO?平面BDEF，BD?平面BDEF，BD∩FO=O，
∴AC⊥平面BDEF，
（2）证明：四边形ABCD和四边形BDEF是菱形，
∴BC∥AD，BF∥DE，
又BC?平面FBC，BF?平面FBC，AD?平面EAD，
DE?平面EAD，
∴平面BCF∥平面EAD，
又FC?平面FBC，
∴FC∥平面EAD．
（3）∵四边形BDEF是菱形，∠DBF=60°，
∴△BDF是等边三角形，又O是BD的中点，
∴FO⊥OB，FO=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
又FO⊥AC，OB∩AC=O，
∴FO⊥平面ABCD，
∴V_A-BCF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•FO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×sin120°×\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．