Question

3．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且$\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+57}{n+3}$，则使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的个数是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 推导出$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$，由此能求出使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的个数．

解答 解：∵两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且$\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+57}{n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2n-1}}{{b}_{1}+{b}_{2n-1}}$=$\frac{\frac{2n-1}{2}（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{\frac{2n-1}{2}（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$
=$\frac{7（2n-1）+57}{2n-1+3}$=$\frac{14n+50}{2n+2}$=$\frac{7n+25}{n+1}$，
使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的值依次为1，2，5，6，8，
∴使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的个数是5．
故选：C．

点评 本题考查两个等差数列的前n项和的比值为整数的项数n的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．