Question

如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AF

=x

a

+y

b

，则

1

x

+

2

y

的最小值为（　　）

• A、8+2

  2

• B、8
• C、6
• D、6+2

  2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由D为AB的中点，可得

AB

=2

AD

．由

AF

=x

a

+y

b

，可得

AF

=2x

AD

+y

AC

，由F在线段CD上，利用向量共线定理可得2x+y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵D为AB的中点，
∴

AB

=2

AD

．
∵

AF

=x

a

+y

b

，
∴

AF

=2x

AD

+y

AC

，
∵F在线段CD上，
∴2x+y=1．
又x，y＞0．
∴

1

x

+

2

y

=（2x+y）(

1

x

+

2

y

)=4+

y

x

+

4x

y

≥4+2

y x • 4x y

=8，当且仅当y=2x=

1

2

时取等号．
∴

1

x

+

2

y

的最小值为8．
故选：B．

点评：本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．