Question

已知函数f（x）=x²+1的图象在点A（x₁，f（x₁））与点B（x₂，f（x₂））处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是（　　）

• A、（

  3

  4

  ，2）
• B、（0，

  1

  4

  ）
• C、（1，3）
• D、（1，

  3

  4

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：由已知函数解析式求得A，B的坐标，求出原函数的导函数，得到函数在A，B两点出的导数值，由图象在点A（x₁，f（x₁））与点B（x₂，f（x₂））处的切线互相垂直得到x₁x₂=-

1

4

，由点斜式写出过A，B两点的切线方程，通过整体运算求得y=x₁x₂+1=

3

4

，即P点纵坐标为

3

4

，然后逐一核对四个选项可得答案．

解答： 解：由题意可知，A（x₁，x₁²+1），B（x₂，x₂²+1）（x₁≠x₂），
由f（x）=x²，+1，得f′（x）=2x，
则过A，B两点的切线斜率k₁=2x₁，k₂=2x₂，
又切线互相垂直，
∴k₁k₂=-1，即x₁x₂=-

1

4

．
两条切线方程分别为l₁：y=2x₁x-x₁²+1，l₂：y=2x₂x-x₂²+1，
联立得（x₁-x₂）[2x-（x₁+x₂）]=0，
∴2x-（x₁+x₂）=0，x=

x1+x2

2

．
代入l₁得，y=x₁x₂+1=1-

1

4

=

3

4

，
结合已知选项可知，P点坐标可能是D．
故选：D．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上在某点处的切线的斜率，就是该点处的导数值，考查了整体运算思想方法，是中档题．