Question

某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+k（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：

x	x1	π 6	x2	2π 3	x3
ωx+ϕ	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	y1	3	y2	-1	y3

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（B）=2，b=4，acos²

C

2

+ccos²

A

2

=6，求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用图表中的数据，找出函数的最大值和最小值，以及周期求出A，ω和φ的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据f（B）=2先求出B的值，然后结合三角函数的倍角公式，以及三角形的面积公式进行求解．

解答： 解：（1）由A+k=3，-A+k=-1⇒k=1，A=2，
由

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，得ω=2，
又2×

π

6

+ϕ=

π

2

⇒ϕ=

π

6

，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1；
（2）f(B)=2⇒sin(2B+

π

6

)=

1

2

，

π

6

＜2B+

π

6

＜2π+

π

6

，⇒2B+

π

6

=

5π

6

⇒B=

π

3

，acos2

C

2

+ccos2

A

2

=6，⇒a•

1+cosC

2

+c•

1+cosA

2

=6⇒a+c+b=12，
所以a+c=8，b=4⇒a2+c2-2accos

π

3

=16⇒(a+c)2-3ac=16，
所以ac=16，
所以三角形ABC的面积S=

1

2

acsinB=4

3

．

点评：本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角形的面积的计算，根据三角函数的倍角公式机械能化简是解决本题的关键．