Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₅=55．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）若数列{

4

an2-1

}的前n项和T_n，试求T_n并证明不等式

1

2

≤T_n＜1成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的前n项和,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，利用a₂=5，S₅=55求出首项与公差，即可求解a_n及S_n；
（Ⅱ）化简

4

an2-1

，利用裂项法求出前n项和T_n，通过判断前n项和T_n的单调性，求出最小值即可证明结果．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵a₂=5，S₉=99，∴99=

9×(a1+a9)

2

=9a5，得a₅=11
∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2，a₁=3-------------------------------------（4分）
∴a_n=2n+1-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）bn=

4

a 2 n -1

=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

------------------------------（9分）
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1------------（11分）
又因为Tn+1-Tn=

1

(n+1)(n+2)

＞0，所以Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

所以

1

2

≤Tn＜1------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查数列求和，等差数列的应用，数列的函数的特征，数列与不等式的关系，是中档题．