Question

设函数f（x）=log₂x．
（1）解不等式f（x-1）+f（x）＞1；
（2）设函数g（x）=f（2^x+1）+kx，若函数g（x）为偶函数，求实数k的值；
（3）当x∈[t+2，t+3]时，是否存在实数t（其中0＜t＜1），使得不等式|f（

1

x-t

）-f（x-3t）|≤1恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断,对数的运算性质,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简f（x-1）+f（x）＞1；利用对数不等式转化为不等式组，求解即可．
（2）通过函数g（x）为偶函数，利用偶函数的定义推出方程，即可求实数k的值；
（3）转化不等式|f（

1

x-t

）-f（x-3t）|≤1恒成立，为函数的最值问题，通过绝对值函数的最值，求出t的取值范围即可．

解答： （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（5分），第3小题满分（7分）．
解（1）log₂x+log₂（x-1）＞2，可得：

x＞0 x-1＞0 x(x-1)＞4

，
解得x＞2（4分）（给出x＜-1或x＞2扣1分）
（2）g（-x）=g（x），即log2(2-x+1)-kx=log2(2x+1)+kx，（5分）
整理，得（2k+1）x=0，k=-

1

2

；                                    （9分）
（如g（-1）=g（1），k=-

1

2

，没有证明扣2分）
（3）不等式|f（

1

x-t

）-f（x-3t）|≤1恒成立，
即|log2

1

x-t

-log2(x-3t)|=|log2(x-t)(x-3t)|≤1，（11分）
等价于

1

2

≤h(x)=(x-t)(x-3t)≤2恒成立，
解h(x)max=h(t+3)≤2，h(x)min=h(t+2)≥

1

2

，得t≤

7

8

，t≥

7

6

，
综上，不存在t符合题意．                                              （16分）

点评：本题考查对数不等式的解法，函数的最值，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．