Question

5．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，分别用定义法：
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）对于函数f（x），其定义域为{x|x≠0}，
因为对定义域内的每一个x都有：
f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）
所以，函数f（x）为奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁＜x₂得x₁-x₂＜0，而x₁x₂＞1，
则  f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，函数函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．