Question

20．△ABC中，C为钝角，设M=sin（A+B），N=sinA+sinB，P=cosA+cosB，则有（　　）

• A． M＜N＜P
• B． N＜M＜P
• C． M＜P＜N
• D． P＜M＜N

Answer 1

分析 利用两角和与差的正弦与正弦函数的性质易知M最小，再对N与P作差，利用辅助角公式及正弦函数的单调性即可得到答案．

解答 解：∵M=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA＜sinA+sinB=N，
同理，M＜P，即M最小；
又N-P=sinA+sinB-（cosA+cosB）
=（sinA-cosA）+（sinB-cosB）
=$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-A）；
设A＜$\frac{π}{4}$，由C为钝角，知A+B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＞$\frac{π}{4}$-A＞B-$\frac{π}{4}$＞-$\frac{π}{4}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-A）＞sin（B-$\frac{π}{4}$），
∴N-P＜0，即N＜P；
∴M，N，P的大小关系为M＜N＜P．
故选：A

点评 本题考查两角和与差的正弦与正弦函数的性质，作差判断N与P的大小是难点，也是关键，考查运算求解能力，属于中档题．